الموضوع النموذجي 4 · رياضيات العام (النوفيام)
على نمط امتحان شهادة ختم التعليم الأساسي العام (النوفيام): الحصّة ساعتان، الضارب 2، 5 تمارين على 20. المحاور: شبه منحرف وطالس ورباعي الأوجه.
أنجز الموضوع في ساعتان على ورقة، ثمّ افتح عناصر الإجابة.
التمرين 1: أسئلة متعدّدة الاختيارات
3 نقاطلكلّ سؤال من أسئلة هذا التمرين ثلاث إجابات مقترحة، واحدة فقط منها صحيحة. أنقل على ورقة تحريرك رقم السؤال والحرف الموافق للإجابة الصحيحة.
- العدد (3 × 10⁻⁴)² × 2 × 10⁵ يساوي:أ) 1,8 × 10⁻³ب) 1,8 × 10⁻²ج) 6 × 10⁻³
- نعتبر السلسلة الإحصائية التالية:
المعدّل الحسابي لهذه السلسلة هو:العدد 8 10 12 15 التكرار 2 3 4 1 أ) 11,25ب) 11ج) 10,9 - في معيّن متعامد ومتجانس (O, I, J) نعتبر النقطتين A(−3 ; 2) و B(5 ; −4). المسافة AB تساوي:أ) 10ب) 14ج) 2√5
عناصر الإجابة
- 1) (3 × 10⁻⁴)² = 9 × 10⁻⁸، ثمّ 9 × 10⁻⁸ × 2 × 10⁵ = 18 × 10⁻³ = 1,8 × 10⁻²، الجواب (ب).
- 2) المعدّل = (8×2 + 10×3 + 12×4 + 15×1)/(2 + 3 + 4 + 1) = 109/10 = 10,9، الجواب (ج).
- 3) AB² = (5 + 3)² + (−4 − 2)² = 64 + 36 = 100 إذن AB = 10، الجواب (أ).
التمرين 2: عددان مقلوبان وحصر
4 نقاطنعتبر العددين a = 3 − √8 و b = 3 + 2√2.
- بيّن أنّ a = 3 − 2√2 ثمّ أنّ العددين a و b مقلوبان.
- أ) بيّن أنّ a = (√2 − 1)².
ب) استنتج أنّ √a = √2 − 1 ثمّ احسب √b. - بيّن أنّ 0 < a < 1 < b ثمّ بسّط العبارة A = |a − 1| + |1 − b|.
- علمًا أنّ 1,41 < √2 < 1,42، أعط حصرًا للعدد b.
حساب عبارات بها جذور تربيعيةمقارنة مقلوبي عددين والمقاربةالقيمة المطلقة لعدد حقيقي وخاصياتهاالترتيب والجمع في IR
عناصر الإجابة
- 1) √8 = √(4 × 2) = 2√2 إذن a = 3 − 2√2. a × b = 3² − (2√2)² = 9 − 8 = 1: مقلوبان.
- 2) أ) (√2 − 1)² = 2 − 2√2 + 1 = 3 − 2√2 = a. ب) √a = |√2 − 1| = √2 − 1 لأنّ √2 > 1. وبنفس الطريقة b = (√2 + 1)² إذن √b = √2 + 1.
- 3) a = (√2 − 1)² > 0، و b = 3 + 2√2 > 1، و a = 1/b مع b > 1 إذن a < 1. ومنه a − 1 < 0 و 1 − b < 0: A = 1 − a + b − 1 = b − a = 4√2.
- 4) 2,82 < 2√2 < 2,84 إذن 5,82 < b < 5,84.
التمرين 3: تفكيك ومعادلات ومساحة مستطيل
4,5 نقاطنعتبر العبارة P = 9x² − 16 − (3x + 4)(x − 2) حيث x عدد حقيقي.
- فكّك 9x² − 16، ثمّ بيّن أنّ P = 2(3x + 4)(x − 1).
- بيّن أنّ P = 6x² + 2x − 8.
- حلّ في ℝ المعادلة P = 0 ثمّ المعادلة P = −8.
- حلّ في ℝ المتراجحة 3(x − 1) < 5x + 2، وأعط مجموعة حلولها في شكل مجال.
- مستطيل طوله 3x + 4 وعرضه 2x − 2 حيث x > 1.
أ) بيّن أنّ مساحته تساوي P.
ب) تحقّق من أنّ P − 52 = 2(x − 3)(3x + 10)، ثمّ جد x حتّى تكون مساحة المستطيل 52.
الجذاءات المعتبرةالمعادلات من الدرجة الأولى ذات مجهول واحدالمتراجحات من الدرجة الأولى ذات مجهول واحدالمجالات في IR والحصر
عناصر الإجابة
- 1) 9x² − 16 = (3x − 4)(3x + 4)، إذن P = (3x + 4)[(3x − 4) − (x − 2)] = (3x + 4)(2x − 2) = 2(3x + 4)(x − 1).
- 2) P = 2(3x² − 3x + 4x − 4) = 2(3x² + x − 4) = 6x² + 2x − 8.
- 3) P = 0 تعني x = −4/3 أو x = 1. P = −8 تعني 6x² + 2x = 0 أي 2x(3x + 1) = 0: الحلّان 0 و −1/3.
- 4) 3x − 3 < 5x + 2 تعني −2x < 5 أي x > −5/2: المجموعة ]−5/2 ; +∞[.
- 5) أ) المساحة = (3x + 4)(2x − 2) = P. ب) 2(x − 3)(3x + 10) = 2(3x² + x − 30) = 6x² + 2x − 60 = P − 52. P = 52 تعني x = 3 أو x = −10/3، و x > 1 إذن x = 3 (الطول 13 والعرض 4).
التمرين 4: شبه منحرف وطالس وعكس بيتاغور
4,5 نقاط(وحدة قيس الطول هي الصنتمتر). في الرسم المقابل ABCD شبه منحرف قاعدتاه [AB] و [CD] حيث AB = 9 و CD = 6 و AD = 12 و BD = 15. القطران [AC] و [BD] يتقاطعان في O.
- بيّن أنّ المثلث ABD قائم في A، ثمّ استنتج أنّ (AD) ⊥ (DC).
- أ) بيّن أنّ OB/OD = 3/2.
ب) احسب OB و OD ثمّ استنتج أنّ المثلث ODC متقايس الضلعين. - المستقيم المارّ من O والموازي لـ (AB) يقطع [AD] في M و [BC] في N.
أ) احسب OM.
ب) بيّن أنّ O منتصف [MN]. - احسب مساحة شبه المنحرف ABCD.
عناصر الإجابة
- 1) AB² + AD² = 81 + 144 = 225 = BD²: المثلث ABD قائم في A (عكس بيتاغور). (AD) ⊥ (AB) و (AB) // (DC) إذن (AD) ⊥ (DC).
- 2) أ) (AB) // (DC) والمستقيمان (AC) و (BD) يتقاطعان في O، حسب طالس: OB/OD = OA/OC = AB/CD = 9/6 = 3/2. ب) OB + OD = 15 و OB = (3/2) OD إذن OD = 6 و OB = 9. OD = DC = 6: المثلث ODC متقايس الضلعين قمّته الرئيسية D.
- 3) أ) في المثلث DAB: (MO) // (AB) إذن OM/AB = DO/DB = 6/15 = 2/5، ومنه OM = 3,6. ب) في المثلث CAB: (ON) // (AB) إذن ON/AB = CO/CA، و CO/CA = OD/DB = 2/5 (لأنّ OA/OC = 3/2)، ومنه ON = 3,6 = OM، و M و O و N على استقامة واحدة: O منتصف [MN].
- 4) الارتفاع AD = 12 إذن المساحة = (9 + 6) × 12/2 = 90 cm².
التمرين 5: رباعي الأوجه وتعامد
4 نقاط(وحدة قيس الطول هي الصنتمتر). SABC رباعي أوجه حيث المستقيم (SA) عمودي على المستوي (ABC)، و ABC مثلث قائم في B، و AB = 3 و BC = 4 و SA = 4.
- احسب AC و SB.
- أ) بيّن أنّ المستقيم (BC) عمودي على المستوي (SAB).
ب) استنتج أنّ المثلث SBC قائم في B، ثمّ تحقّق من أنّ SC = √41. - احسب حجم رباعي الأوجه SABC.
- M نقطة من [SA] حيث SM = 1. المستقيم المارّ من M والموازي لـ (AB) يقطع [SB] في N. احسب SN و MN.
عناصر الإجابة
- 1) ABC قائم في B: AC² = 9 + 16 = 25 إذن AC = 5. (SA) ⊥ (ABC) إذن (SA) ⊥ (AB): SB² = 16 + 9 = 25 إذن SB = 5.
- 2) أ) (BC) ⊥ (AB) و (BC) ⊥ (SA) لأنّ (SA) ⊥ (ABC)، و (AB) و (SA) متقاطعان في المستوي (SAB)، إذن (BC) ⊥ (SAB). ب) (SB) من المستوي (SAB) إذن (BC) ⊥ (SB): SC² = SB² + BC² = 25 + 16 = 41، أي SC = √41 (ونجد كذلك SC² = SA² + AC² = 16 + 25).
- 3) مساحة ABC = (3 × 4)/2 = 6 والارتفاع SA = 4: الحجم = (6 × 4)/3 = 8 cm³.
- 4) حسب طالس في المثلث SAB: SN/SB = SM/SA = MN/AB = 1/4، ومنه SN = 5/4 = 1,25 و MN = 3/4 = 0,75.
موضوع وعناصر إجابة من إعداد سكولار، ليس موضوعًا رسميًا. تُقبل كلّ طريقة صحيحة أخرى.
راجع الدروس المعنيّة
لكلّ درس شرح وأمثلة محلولة و6 تمارين مصحّحة.
كيف ترافقون طفلكم في موضوع الرياضيات
- نظّموا معه وقت الموضوع كما في يوم الامتحان، وشجّعوه على البدء بالتمرين الذي يرتاح إليه أكثر.
- ذكّروه بأنّ تحرير الحلّ مهمّ مثل النتيجة: الخاصّيات المستعملة والمراحل مكتوبة بوضوح.
- في الهندسة: اطلبوا منه رسمًا دقيقًا بالأدوات وتسجيل المعطيات عليه قبل البرهنة.
- لا تعطوه الحلّ عند التعثّر؛ اسألوه عن الدرس أو الخاصّية التي قد تفيد، ودعوه يعيد المحاولة.
- شجّعوه على التحقّق من النتائج (التعويض في المعادلة، معقولية القيس).
بعد أن ينجز طفلكم الموضوع، اسألوه:
- «ما الخاصّية أو القاعدة التي استعملتها في هذا السؤال؟»
- «هل تحقّقت من نتيجتك؟ كيف؟»
- «ماذا ستراجع قبل الموضوع القادم؟»
مقالات أخرى في نصائح للأولياء.